MEDIA GEOMETRICA

Quando si utilizza ?

La media geometrica si usa quando si ha a che fare con fenomeni in progressione (come l’aumento del peso di un bambino man mano che cresce), per variazioni relative osservate nel tempo (ad esempio in giorni, mesi…) ed è utile anche per calcolare le medie in situazioni in cui le fluttuazioni dei dati sono esponenziali.  La media analitica di ordine 0 corrisponde alla media geometrica.

Come si calcola?

La media geometrica, che indicheremo con , di una distribuzione   di valori tutti positivi ( xi), si calcola come radice N-esima del loro prodotto:

Come si applica?

Vediamo con l’esempio che segue come applicare la formula sopra esposta.

ESEMPIO:

Supponiamo di voler calcolare l’incremento medio del peso di un neonato nel corso del primo anno di vita:

Età (in mesi)Peso (kg)Incrementi
13.3 
24.000.7
34.60.6
45.10.5
55.50.4
66.10.6
76.60.5
87.000.4
97.50.5
108.20.7
118.950.75
129.750.8

Calcoliamo la media geometrica degli incrementi:

Dunque, l’incremento medio mensile è di 0.571 kg.

Quali proprietà sono tipiche della media geometrica?

  1. è INTERNA, in quanto è sempre un valore incluso tra il minimo e il massimo dei valori della distribuzione:

2. Identità di prodotto (o proprietà di invarianza rispetto al prodotto):

il prodotto dei valori della distribuzione è pari alla media geometrica elevata a N:

3. Omogeneità:

se tutti i valori della distribuzione sono moltiplicati per una costante c > 0, la media geometrica dei valori trasformati è c volte la media di quelli iniziali.

4. Il logaritmo della media geometrica è pari alla media aritmetica dei logaritmi dei valori della distribuzione:

5. Associatività:

Se abbiamo a disposizione g gruppi disgiunti di un campione statistico di N unità, con numerosità  e medie geometriche diverse , la media geometrica totale si calcola come:

Ora proviamo ad applicare le proprietà al nostro esempio:

  1. Internalità: la media, 0.571, è maggiore del minimo 0.5 e minore del massimo 0.8.
  2. Identità di prodotto (o proprietà di invarianza rispetto al prodotto):

il prodotto dei valori della distribuzione  è pari alla media geometrica elevata a N:

3. Omogeneità:

moltiplichiamo tutti i valori per una costante, ad esempio 2 e otteniamo

ricalcoliamo la media geometrica:

otteniamo kg che è esattamente 2 volte la media iniziale 0.571 kg.

4. Associatività:

supponiamo di voler calcolare l’incremento medio totale del peso di 6 neonati che percorrono la stessa distanza, 4 di loro hanno un incremento medio pari a  0.571  kg mentre per 2 di loro è di 0.62 kg. Calcoliamo la media geometrica totale in questo modo:

Articolo scritto in collaborazione con Marta Iacolino